Apr 222013
 

ASSO_ISO_SCALA

DESCRIZIONE:

Strumenti da Disegnofoglio F4 liscio gr.220, matita HB/2, squadretterigacompasso e normografo.

Livello: classi terze.

Difficoltà: alta.

Descrizione: usando un foglio dall’album da disegno, effettuiamo la squadratura secondo lo schema appreso (vedi SQUADRATURA). Utilizzeremo l’area da disegno (quella gialla) per realizzare l’esercitazione della scheda sopra.

PROCEDURA OPERATIVA:

posizionando il foglio in orizzontale (ossia con il lato lungo verso di noi), procediamo nel seguente modo:

  1. tracciamo gli assi X, Y e Z come per l’assonometria isometrica;
  2. tracciamo l’asse Y’ per costruire la nostra figura di riferimento per il ribaltamento;
  3. disegniamo, ora, sul piano virtuale Y’Z (ortogonale) la nostra figura di riferimento per la costruzione della rampa, ossia la sua vista dall’alto riportando in scala le misure come indicate nei dati dell’esercitazione;
  4. proiettiamo ciascun punto di questa proiezione sugli assi Z e Y’;
  5. puntando il compasso sul centro degli assi, ribaltiamo queste proiezioni sugli assi X e Y;
  6. proiettiamo ora parallelamente a X e Y tali ribaltamenti, ricostruendo sul piano XY la figura di riferimento già disegnata sul piano Y’Z;
  7. da ciascun punto tracciamo una parallela a Z della lunghezza del relativo gradino;
  8. disegnano ora prima le pedate di ogni singolo gradino come nell’animazione sotto e poi le diverse alzate;
  9. completiamo la figura rinforzando le basi della scala (solo quelle visibili dalla nostra posizione);
  10. abbiamo così costruito l’assonometria isometrica di una rampa formata da 3 gradini

Scala_movie

SCARICA L’ARTICOLO:
Feb 262013
 

Assonometria

Questo capitolo si configura come un completamento di quello sulle ASSONOMETRIE.

PIRAMIDE4
PIRAMIDE QUADRATA CUBO

Fino a qui, abbiamo disegnato figure a base quadrangolare (parallelepipedo, cubo, piramidi a base rettangolare o quadrata), quindi relativamente semplici perché i loro lati di base sono sempre paralleli agli assi XY di riferimento (piano orizzontale) per cui di facilmente tracciabili.

I problemi nascono quando dobbiamo realizzare figure i cui lati non sono più paralleli agli assi  X e Y o quando ruotiamo la figura rispetto a questi. Ad esempio come per le figure con basi poligonali illustrate qui sotto:

TETRAEDRO PIRAMIDE PENTAGONALE

In questi casi le proiezioni ortogonali ci vengono in aiuto. Infatti, unendo le due tecniche, riusciamo con facilità a realizzare qualunque figura geometrica in assonometria. In realtà il problema si pone principalmente nelle assonometrie Isometrica e Cavaliera in quanto nella Monometrica, il piano XY è ortogonale, quindi la figura di base può essere costruita con facilità sullo stesso.

PRISMA3misureTracciati gli assi XYZ nella proiezione isometrica, cioè inclinati con un angolo di 120° tra di loro, tracciamo ora, un nuovo asse Y’ ortogonale a Z. Avremo così un nuovo piano virtuale denominato ZY’. La caratteristica di questo piano è quella che i due assi sono tra di loro perpendicolari. Su questo nuovo piano, andremo a costruire la base del nostro solido come se fossimo sul Piano Orizzontale delle Proiezioni Ortogonali.

Proviamo a realizzare l’assonometria isometrica di un PRISMA a base triangolare.

Procediamo con la costruzione; l’animazione di seguito ci può aiutare a comprendere il procedimento di costruzione del solido geometrico in oggetto.

Ribaltamento

da 4 a 7 – Costruiamo il triangolo equilatero abc secondo il metodo già appreso.

da 8 a 10 – Proiettiamo ciascun punto a, b, c, perpendicolarmente all’asse Z e di seguito, perpendicolarmente all’asse Y’. Adesso applichiamo il vero è proprio ribaltamento, cioè riportiamo sugli assi X e Y le proiezioni dei punti abc del triangolo di base del prisma. Per far ciò, puntiamo il compasso al centro degli assi, e con apertura oa, oc e ob, ruotiamo queste proiezioni da Y’ fino a toccare l’asse Y.

da 11 a 12 – Allo stesso modo, sempre puntando il compasso al centro degli assi, ruotiamo le proiezioni sull’asse Z fino a far toccare loro l’asse X. Ora, procedendo come abbiamo sempre fatto, proiettiamo questi punti parallelamente agli assi X e Y.

13 – Seguiamo le proiezioni di a sia sull’asse X che su quello Y e dal loro incrocio troveremo il punto a sul piano XY.

da 14 a 15 – Allo stesso modo, seguiamo le proiezioni di b e c sia su X che su Y, per trovare rispettivamente i punti a e b sul piano XY.

16 – Unendo i punti a, b e c sul piano XY, definiremo il triangolo di base inferiore del prisma triangolare.

17 – Alziamo da a, b e c le altezze per costruire la base superiore triangolare del prisma.

da 18 a 20 – Per completare la figura rinforziamo solo ciò che si vede.

ESEMPI

Di seguito vediamo un esempio di RIBALTAMENTO in ciascuno dei metodi assonometrici studiati:

ISOMETRICA

Nell’animazione precedente e nella descrizione è indicato passo passo la procedura per eseguirla:

RibaltamentoISO

MONOMETRICA

Nel caso dell’assonometria monometrica, come detto la figura geometrica di base può essere costruita direttamente sul piano XY (vedi Figura a), oppure utilizzare anche in questo caso il RIBALTAMENTO (vedi Figura b):

Costruzione diretta

a – Costruzione diretta

Costruzione con ribaltamento

b – Costruzione con ribaltamento

 

 

 

 

 

 

CAVALIERA

Nel caso dell’assonometria cavaliera, il piano virtuale ZY’ può essere il piano ZX già esistente perché ortogonale. In questo caso, l’unica accortezza è quella di ricordarsi di dimezzare le misure della proiezione su Y come da tecnica costruttiva:

RibaltamentoCAV

PUOI LEGGERE ANCHE:
Gen 302012
 

Il nome Assonometria deriva dal greco áxon (asse) e métro (misura); si tratta di un sistema di rappresentazione grafico geometrico basato sulla rappresentazione tridimensionale di un oggetto avendo cura di misurare le sue dimensioni su tre assi disposti tra di loro ortogonalmente.

QUALCHE CENNO STORICO

L’assonometria fu utilizzata per la prima volta come strumento da disegno dal francese Gaspard Monge alla fine del Settecento e a lui, ovviamente, si attribuisce tale innovazione nel campo del disegno tecnico.

Si trovano tracce di assonometria, sin dai tempi della Magna Grecia, anche se a quell’epoca, non si trattava di una vera e propria tecnica, ma di rappresentazioni sporadiche e intuitive. Solo nel ‘700, l’assonometria diventa tecnica rappresentativa in quanto codificata scientificamente.

I primi scritti sull’argomento sono rintracciabili nell’opera del grande matematico francese Girard Desargues anche se la codifica di questo metodo è sicuramente di un periodo di molto successivo. Il vero problema fu l’imporsi della tecnica della prospettiva; il successo di tale tecnica, fu talmente dirompente da riuscire a modificare il modo di pensare e vedere lo spazio. In virtù di ciò, neanche gli studiosi matematici riuscirono a percepire con sufficiente chiarezza l’esistenza di un modello di rappresentazione tridimensionale diverso da quello prospettico.

Il maggiore sviluppo lo si è avuto in campo militare e industriale. L’assonometria, infatti, è portatrice di evidenti vantaggi rappresentativi. Comprensione immediata dell’oggetto rappresentato, possibilità di misurarlo direttamente sul foglio di carta senza dover compiere un’operazione inversa come nella prospettiva. Questi fattori, durante il periodo della rivoluzione industriale e nel momento in cui la produzione in serie divenne un processo standardizzato, sono diventati ancora più evidenti, dando un’ulteriore spinta allo sviluppo di questa tecnica grafica.

LA TECNICA

Assi cartesiani ortogonali

Per comprendere l’assonometria bisogna prima chiarire alcuni concetti base. Il primo elemento da comprendere è il cosiddetto sistema di riferimento tridimensionale, ossia l’insieme degli elementi utilizzati per posizionare un oggetto nello spazio. Esistono differenti sistemi di riferimento, quello cilindrico, quello sferico, quello polare, ma quello più utilizzato e quello a cui faremo riferimento noi, è quello cartesiano. Questo è costituito da tre rette (X, Y, Z) passanti per un punto, definite assi cartesiani, caratterizzate ognuna da un verso di percorrenza; se le tre rette sono tra loro perpendicolari il sistema di riferimento si chiamerà ortogonale altrimenti prenderà il nome di obliquo. Inoltre, a seconda delle riduzioni delle misure dell’oggetto che facciamo sulle tre rette del sistema di riferimento (unità di misura), un’assonometria può essere denominata isometrica (o monometrica), dimetrica oppure trimetrica.

Sistema di riferimento ortogonale

Il principio che sta alla base dell’assonometria è la proiezione di un oggetto geometrico su un piano, detto piano di proiezione o quadro, lungo una direzione determinata da un punto improprio, detto centro di proiezione. Quindi, l’oggetto sta sempre tra l’osservatore e il piano di proiezione.
A seconda del posizionamento degli assi, possiamo avere innumerevoli forme di assonometria, ma tra quelle normate più comuni, troviamo:

  • ASSONOMETRIA ISOMETRICA
  • ASSONOMETRIA MONOMETRICA
  • ASSONOMETRIA CAVALIERA

Si tratta di assonometrie di tipo ortogonale (i piani sono sempre tra loro perpendicolari), monometriche tranne che per la cavaliera (dimetrica), in quanto le misurazioni sugli assi non vengono modificate. Nelle assonometrie ortogonali, l’asse delle altezze chiamato Z è sempre verticale, mentre gli assi delle lunghezze e larghezze (X e Y), variano la loro inclinazione a seconda il tipo.

Scopriamole nel dettaglio tutte e tre.

ASSONOMETRIA ISOMETRICA

Nell’assonometria isometrica, l’asse Z è verticale, e i tre assi formano tra di loro angoli uguali di 120°. Le misure sui tre assi devono essere riportate nella loro reale grandezza.

Vediamo innanzitutto come si tracciano correttamente gli assi di riferimento. Posizioniamo riga e squadretta (si deve usare quella 30°/60°) sul foglio secondo le indicazioni di seguito per tracciare gli assi di riferimento:

Tracciamento asse Z

Tracciamento asse X

Tracciamento asse Y

Assonometria Isometrica

Gli assi di riferimento dell’assonometria isometrica possono essere posizionati anche in modo diverso, senza per questo inficiare la correttezza del disegno. Vediamo in che modo:

Assi in posizione classica

Assi in posizione inversa

ASSONOMETRIA MONOMETRICA

Nell’assonometria monometrica, l’asse Z è verticale, e gli assi X e Y formano tra di loro un angolo di 90° e due angoli di 120° e 150° con l’asse Z. Le misure sui tre assi devono essere riportate nella loro reale grandezza.

Vediamo innanzitutto come si tracciano correttamente gli assi di riferimento. Posizioniamo riga e squadretta (si deve usare quella 30°/60°) sul foglio secondo le indicazioni di seguito per tracciare gli assi di riferimento:

Tracciamento asse Z

Tracciamento asse Y

Tracciamento asse X

Assonometria Monometrica

Gli assi di riferimento dell’assonometria monometrica possono essere posizionati anche in modo diverso, senza per questo inficiare la correttezza del disegno. Vediamo in che modo:

Tracciamento assi 1

Tracciamento assi 2

Tracciamento assi 3

 

 

ASSONOMETRIA CAVALIERA

L’assonometria cavaliera, è così denominata perché prende il nome da un grande matematico allievo di Galileo Galilei chiamato, appunto, Bonaventura Cavalieri e viene anche chiamata Militare o Frontale.

Nell’assonometria cavaliera, l’asse Z è verticale, l’asse X è orizzontale e forma un angolo di 90° con l’asse Z. L’asse Y è inclinato di 45° formando due angoli uguali di 135° con gli assi X e Z. IMPORTANTE – siccome le immagini prodotte dall’assonometria cavaliera risultano innaturali per l’occhio umano le dimensioni riportate sull’asse Y (quello inclinato a 45°) vanno per convenzione dimezzate mentre quelle sugli assi X e  Z vanno tracciate nella loro reale grandezza.

Vediamo innanzitutto come si tracciano correttamente gli assi di riferimento. Posizioniamo riga e squadretta (si deve usare quella a 45°) sul foglio secondo le indicazioni di seguito per tracciare gli assi di riferimento:

Tracciamento asse Z

Tracciamento asse X

Tracciamento asse Y

Assonometria Cavaliera

Gli assi di riferimento dell’assonometria cavaliera possono essere posizionati anche in modo diverso, senza per questo inficiare la correttezza del disegno. Vediamo in che modo:

Tracciamento assi 1

Tracciamento assi 2

Tracciamento assi 3

 


Infine, vediamo come vengono riportate sugli assi di riferimento, nelle 3 rappresentazioni assonometriche, le misure di un oggetto:

Misure nella Isometrica

Misure nella Monometrica

Misure nella Cavaliera

 

 

 

 

 

ESECUZIONE
Costruzione di un PARALLELEPIPEDO in Assonometria ISOMETRICA
Isometria_movie

Costruzione di un PARALLELEPIPEDO in Assonometria MONOMETRICA
Monometria_movie

Costruzione di un PARALLELEPIPEDO in Assonometria CAVALIERA

Cavaliera_movie

PUOI LEGGERE ANCHE:
SCARICA L’ARTICOLO:
Nov 082011
 

Le Proiezioni Ortogonali sono una tecnica di rappresentazione che consente di visualizzare un oggetto anche tridimensionale sul piano bidimensionale (il foglio da disegno). Si tratta di proiettare secondo tre punti di vista lo stesso oggetto, ortogonalmente (perpendicolarmente) a tre diversi piani, ottenendo così tre diverse viste, una dall’alto chiamata pianta, una frontale chiamata prospetto e una laterale chiamata profilo.

E’ una tecnica di disegno abbastanza antica, nasce ad opera di Gaspard Monge, studioso francese che teorizzò questo sistema rappresentativo per finalità militari tanto che inizialmente era considerato segreto.

Le proiezioni ortogonali, consentono di avere una visualizzazione chiara e intuitiva dell’oggetto da rappresentare, ma anche la sua quotatura, tracciando sul disegno le sue misure principali ossia, lunghezza, larghezza e altezza.

Per eseguire una proiezione ortogonale abbiamo, quindi, bisogno di tre elementi: l’oggetto, i piani di riferimento e il punto di vista.

Eseguire una proiezione ortogonale di un oggetto, significa in pratica, guardarlo da tre differenti punti di vista e disegnare sul foglio ciò che vediamo. Nella esecuzione di una proiezione ortogonale, l’oggetto e i piani di riferimento non dovranno mai essere modificati, ciò che cambierà ogni volta è soltanto il punto di vista da cui osserviamo l’oggetto.

Se consideriamo un oggetto, nell’esempio una barca a vela, dobbiamo fissare tre punti di vista, cioè i punti da cui lo osserveremo. Questi saranno sempre gli stessi: dall’alto, di fronte e di lato.

Scelto l’oggetto e fissati i punti di vista da cui guardarlo, rimane da capire come posizionare i piani di riferimento. Immaginiamo allora che, i tre piani di riferimento siano i tre lati di una scatola (la base e due pareti). Posizioniamo l’oggetto al centro di questa scatola, come nella figura qui a lato.

Ricordiamo che abbiamo scelto tre viste, dall’alto, di fronte e di lato e che la proiezione dovrà sempre essere perpendicolare ai tre piani. Per comprendere meglio questo procedimento, immaginiamo di illuminare l’oggetto da tre direzioni che coincidono con i punti di vista. L’oggetto, proietterà allora tre diverse ombre ognuna su un piano di riferimento.


Vista dall’alto

1 – Poniamo la sorgente luminosa in alto sopra l’oggetto. La barca proietterà la sua ombra sul piano sottostante che, per la sua posizione prenderà il nome di PIANO ORIZZONTALE. L’esempio qui a sinistra chiarisce meglio il concetto.


Vista di fronte

2 – Spostiamo la sorgente luminosa frontalmente all’oggetto; questo proietterà un’altra ombra sul piano posto alle sue spalle. Questo piano prende il nome di PIANO VERTICALE perchè disposto ortogonalmente a quello precedente.


Vista laterale

3 – Spostiamo, infine, la sorgente luminosa di fianco all’oggetto. Questo, proietterà un’ombra sul piano posto di lato che prende il nome di PIANO LATERALE.


Come detto precedentemente, l’oggetto e i piani di riferimento non debbono essere mai spostati; l’unica cosa che può cambiare la propria posizione è la sorgente luminosa che, coincide con il punto di vista dell’osservatore, cioè con il nostro occhio.

Proiezioni

Congruenza proiezioni

L’oggetto proietta sui piani di riferimento le sue tre ombre. Come si vede nel secondo schema, le tre proiezioni sono tra di loro legate (congruenti) perché riferite tutte allo stesso oggetto posizionato nella medesima posizione.

Fin qui abbiamo rappresentato un oggetto attraverso tre sue proiezioni su tre differenti piani di riferimento tra loro perpendicolari. Ora dobbiamo trasferire questa rappresentazione tridimensionale sul piano bidimensionale del foglio da disegno.

Immaginiamo di far coincidere il Piano Verticale (P.V.) della nostra scatola tridimensionale con il nostro foglio da disegno come nell’esempio 1 qui sotto:

1 – Clicca per ingrandire

A questo punto ruotiamo di 90°, attorno all’asse che lo unisce con P.V., il Piano Laterale (P.L.) fino a farlo divenire complanare con il P.V. come in figura 2:

2 – Ribaltamento del Piano Laterale

Infine, ruotiamo il Piano Orizzontale (P.O.) di 90°, attorno all’asse che lo unisce al P.V., fino a far diventare anch’esso complanare a P.V. stesso, come in figura 3:

3 – Ribaltamento del Piano Orizzontale

Ribaltati i piani, questi, si trovano ad essere tutti complanari cioè, giacenti su di uno stesso piano, come avviene sul nostro foglio da disegno. Vediamo di seguito il risultato finale della proiezione ortogonale della nostra barca (oggetto):

Proiezione ortogonale

 

 

 

 

 


GUARDA I VIDEO:
PUOI LEGGERE ANCHE: